5秒導(dǎo)讀，本文將介紹適用于求解線性回歸以及Logistic回歸的牛頓方法，以及泰勒展開
線性回歸的求解，其實(shí)就是求解使代價(jià)函數(shù)取得最小值的θ，而Logistic回歸則是求解使得對(duì)數(shù)似然函數(shù)取得最大值的θ，或許熟悉微積分的朋友會(huì)問：“要求最值，為什么不直接取偏導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)？”
答案其實(shí)非常簡(jiǎn)單，首先，很多方程非常難解，其次解的結(jié)果帶有矩陣求逆，并不是每個(gè)矩陣都可逆，并且逆矩陣十分難求。
不過(guò)梯度上升/下降并不是唯一的辦法。今天我們就將介紹一種來(lái)自莫高雷的神秘方法——牛頭方法！
靠！說(shuō)錯(cuò)了，是牛頓方法?。。。。?！
說(shuō)起牛頓，那可真是百科全書式的天才，其著名的牛頓運(yùn)動(dòng)三定律，可謂改變了全世界，比如：
當(dāng)然還有微積分最著名的牛頭—德萊尼人公式！其實(shí)是牛頓-萊布尼茨公式:
這個(gè)沒有開玩笑！
這個(gè)沒有開玩笑！
這個(gè)沒有開玩笑！重要的事說(shuō)三遍
調(diào)侃到此為止，回到今天的正題——牛頓方法，牛頓方法可以用于求解復(fù)雜方程的近似解。比如說(shuō)我們的線性回歸的代價(jià)函數(shù)，Logistic回歸的似然函的導(dǎo)函數(shù)等于0的解。
首先讓我們考慮一個(gè)任意函數(shù)f(x)=0的解，隨便取一點(diǎn)x0，并在(x0,f(x0))處求出切線的表達(dá)式，以切線與x軸的交點(diǎn)x1重復(fù)幾次上述步驟，我們就可以得到f(x)=0的近似解，過(guò)程如圖
Ok，x1怎么算？還記得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表示斜率么？不記得可以翻翻玩ai第4期，斜率不就是tanθ,也就是夾角的正切，那么
稍微整理一下就得到
關(guān)于這等式怎么來(lái)的，一個(gè)比較容易理解的解釋是使用泰勒展開。什么叫泰勒展開？我們知道很多函數(shù)在某點(diǎn)的值很容易算，比如說(shuō)
也有的函數(shù)很難算，比如說(shuō)sinx,而泰勒展開就是用容易算的函數(shù)逼近難算的函數(shù)，最終求得我們想要的值。方法是取某個(gè)點(diǎn)，使兩個(gè)函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值，以及1到N階導(dǎo)數(shù)值都相等，求解a0到an的值，得到逼近。泰勒公式如下圖
Ok，因?yàn)槲覀円蟮氖欠匠痰慕平?，所以我們只取泰勒公式的前兩?xiàng)，那么
這是啥？稍微整理一下不就是是上面的斜率嘛！
OK，牛頓方法講清楚了，不過(guò)我們的線性回歸的代價(jià)函數(shù)，Logistic回歸的似然函的導(dǎo)函數(shù)都是n元函數(shù)，怎么求解呢？其實(shí)也差不多
如果把
記作F(x)，這玩意叫做向量值函數(shù)，也就是你喂一組數(shù)字進(jìn)去，他還你一個(gè)向量。那么
因?yàn)镕(x)=0,所以
這里的F'(x)是一個(gè)稱為雅可比矩陣的玩意
由此我們可得
其中的F’(x)^-1表示雅可比矩陣的逆矩陣。一個(gè)問題是，上述的F(x)其實(shí)是代價(jià)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。不過(guò)問題不大！再求導(dǎo)一次就行了：
其中的▽是梯度的意思，不記得可以翻《玩AI 5 ——雞你太美》。而H為Hessian矩陣,其中的元素為
Hessian矩陣寫出來(lái)就是
就是再導(dǎo)一次，沒啥大不了的！
這些數(shù)學(xué)的玩意，確實(shí)煩人！不過(guò)，請(qǐng)你相信，數(shù)學(xué)在AI算法中，是最最重要的東西，雖然做為一個(gè)工程師，我們不需要像數(shù)學(xué)家那樣搞那么嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治龊妥C明！但是只有理解一個(gè)東西，我們才能將其用的更好，不是么？
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