基礎(chǔ)概念?
e，一個你常常在數(shù)學公式中能看到的符號。
它有很多名稱 自然常數(shù)，歐拉數(shù)，納皮爾常數(shù)。
和 π 類似，它也是一個 無限不循環(huán)小數(shù)，它的值大約為：2.718281828459。
e 的意義?
說 e 是“一個近似 2.71828...” 的數(shù)，無異于說 π 是“一個近似 3.14159...” 的數(shù)。非常正確，但讓人難以理解。
π 是所有圓的周長和其半徑的比值。它是所有圓周的固有基本比例。它影響了圓、球、圓柱等的周長、面積、體積和表面積的計算。π很重要，它告訴我們所有的圓都是相關(guān)的，更不必說三角函數(shù)（sin，cos，tan）都是從圓導(dǎo)出的。
類似地，我們可以這樣理解 e：
e 是所有持續(xù)增長過程，共享的基本增長率。
以此類推，第 n 年后，他總共要還 2^n 塊錢。公式長這樣：
這個公式還能換一種寫法，更直觀地體現(xiàn)出 100% 的利息：
更進一步，增長率我們也替換為變量，來考慮各種利率的情況（比如 25%, 50%, 200% 等等）。那么新公式就能改成：
return 就代表了回報率（增長率）。
2. 加快利滾利???
現(xiàn)在讓咱們貪婪一點，年利率保持 100% 不變，但計算利息的頻次從一年縮短為半年。
那么一年以后你會賺多少錢呢？
在半年的時候，你會提前獲得一半的利息，這時共獲利 1.5 元。
但是當?shù)搅艘荒甑臅r候，你仍然只能得到 2 元嗎？
錯了！你忘了計算半年時多出來的 0.5 元利息了，它也要利滾利，生成自己的利息。
所以正確答案是一年后，連本帶利共 2.25 元。比按年結(jié)算多出了 0.25 元。
讓我們回到公式，如何表達兩個半年 50% 的增長：
3. faster!???
更進一步！現(xiàn)在你嘗到了頻繁計算復(fù)利的甜頭。讓我們改為每個季度計算利息一次。
總收益變得更大了。
4. fastest!???
那么，如果每天、每小時、每秒、乃至每一瞬間都計算一次利息，不是時就可以把利息滾到無限大，從此實現(xiàn)財富自由了呢？
n - (1 + 100% /n) ^ n
1 - 2
2 - 2.25
3 - 2.37
5 - 2.488
10 - 2.5937
100 - 2.7048
1,000 - 2.7169
10,000 - 2.71814
100,000 - 2.718268
1,000,000 - 2.7182804
... - ...
很遺憾，不行。
但你會發(fā)現(xiàn)當間隔足夠小以后，最后的總額無限趨近于 e 的值...我們成功地制造了e。
由此，也就得出了數(shù)學中表達 e 的公式：
這個極限最終會收斂于一個值，這個已經(jīng)被證明過。正如你所見，不管我們把時間分的多么多么的短，我們得到的總回報最終停留在了2.718附近。
可是 e 有什么用呢？?
現(xiàn)在我們知道，數(shù)字 e（2.718...） 是一個周期以 100% 的復(fù)合增長率增長的最大結(jié)果。
但是這個數(shù)有什么用呢？
當增長基數(shù)改變？?
依然用借款來舉例，假設(shè)年利率 100%，且持續(xù)復(fù)利（雖然現(xiàn)實中不可能這樣）。
我們一開始有 1 元，那么一年后我們連本帶息能得到 e 元。
如果我們一開始有 2 元，但復(fù)利的條件沒有變化，那么一年后我們能得到 2e 元。
以此類推，如果有 114.514 元，一年最終也會變成 114.514e 元。
當增長率改變？?
如果增長率不是 100%，而是 50%，e 還能起作用嗎？
看回公式，50% 的單位時間內(nèi)的復(fù)合增長率是這樣的：
記住 50% 是這段時間內(nèi)的總回報率，n 是為了獲得復(fù)合增長而將這個過程分割的次數(shù)。
如果我們?nèi)?n = 50，我們可以把整段增長分為 50 次，每一段都增長了 1%。
為了探究 50% 增長率與 e（100% 增長率） 的關(guān)系，我們用同樣的方法處理 e。
我們假定 100% 增長的情況下，n = 100 （將增長分割為 100 段）。公式如下：
似乎有些關(guān)系了。
+ 在 100% 增長率的情況下，近似等于以 1% 的增長重復(fù)了 100 次；（左）
+ 在 50% 增長率的情況下，近似等于以 1% 的增長重復(fù)了 50 次；（右）
它們的區(qū)別只在于，50% 增長的段數(shù)比 100% 少了一半：
因此我們可以認為，在單位時間內(nèi)，增長率 r 的最大復(fù)合增長為：e^r。
+ 50% 增長率的最大復(fù)合增長為 e^0.5
+ 300% 增長率的最大復(fù)合增長為 e^3
+ 0.1% 增長率的最大復(fù)合增長為 e^0.01
由此可得出不同增長率下，表示最大復(fù)合增長的公式：
因此也可以得到，2 年 300% 的增長，等同于 3 年 200% 的增長。
time 可以代表增長的時間，而 rate 代表增長的效率。
意義?
只要系統(tǒng)以指數(shù)形式持續(xù)增長，e 就會出現(xiàn)：人口、放射性衰變、利息計算等等。即使是不平滑增長的鋸齒狀系統(tǒng)，也可以用 e 來近似。
就像每個數(shù)字都可以看作是 1（基本單位）的縮放版，每個圓都可以看作是單位圓（半徑 1）的縮放版，每個增長率都可以看作是 e（單位增長，完全復(fù)合）的縮放版。
因此，e 并不是一個晦澀難懂、看似隨機的數(shù)字。
e 所代表的理念是，所有持續(xù)增長的系統(tǒng)，都是一個共同增長率（e）的縮放版本。
一些例子?
這里就列舉參考原文的一些好例子，外加一個阮一峰大神提到的72法則。
例1：魔法水晶?
假設(shè)你有 300kg 魔法水晶，它們每時每刻都在以 100% 速度增長，那么 10 天后你會有多少水晶？
300 * e^10 ≈ 6607939.73 kg
例2：最大利率?
設(shè)我的銀行賬戶中有120元，利息是5%。銀行很慷慨，并且想要給我最可能大的復(fù)合增長率，十年后我有多少錢？
120 * e^(0.05 * 10) ≈ 197.84 元
例3：半衰期?
一種放射性物質(zhì)，其每年的連續(xù)復(fù)合衰變率是100%，問10kg的該物質(zhì)經(jīng)過3年后還剩多少？
10 * e^(-1 * 3) ≈ 0.498 kg
例4： 72 法則?
72法則是金融學上的一種概念，用于估算投資本金翻倍所需的時間。
具體來說，它基于一個假設(shè)：以 1% 的復(fù)利來計息，本金在大約72年后會翻倍。
e^(0.01 * t) = 2
t ≈ 69.315
我們可以將 69.315 近似為 72。（之所以選用72，是因為它有較多因數(shù)，容易被整除，更方便計算。）
用這個 72 我們能快速估算增長翻倍的時間。
例：假設(shè)年增長率為20%，那么需要多少年才能翻一番？
答：72÷20=3.6年
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